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Butterfly_Effect( )

僕はとにかく地面と別れる方法を探しているんだ

飛行力学における機体固定座標系

飛行力学の基礎の基礎

多くの飛行力学本は、シミュレーション等行う場合には機体固定座標系上で運動方程式を書くのが簡単であると主張している。
実際、機体に働く空気力やら種々のコントロール・エフェクタの影響を計算するとき、機体固定座標系の方が分かりやすい。
しかし機体固定座標系とは何か?という基礎的な点に関して、多くの人が誤解している部分がある。
恐らく最もポピュラーな和書の飛行力学本、「航空機力学入門」を題材にこの点について再確認してみる。今回の話題は、この本の1〜3ページの内容に相当する(基礎の基礎!)。

航空機力学入門

航空機力学入門

慣性座標系の導入

まず、慣性座標系における剛体の運動方程式が定義される。
航空機の重心の速度を\bf{V_c}、角速度を\bf{\omega}とし、機体重心に作用する力とモーメントを\bf{F}\bf{G}とする。
これらは全て基準となる慣性座標系*1から観測された量だ。

{ \displaystyle
m \frac{d\bf{V_c}}{dt} = \bf{F}
}

{ \displaystyle
\frac{d\bf{h}}{dt} = \bf{G}
}

ちなみに\bf{h}=I\omegaであって、これは角運動量ベクトルである。せっかくなら並進ダイナミクスも運動量ベクトルを追いかける形で書けば統一感あるのに、と思わないでもないが。

機体固定座標系の導入

次に、機体固定座標を導入する。
この本によれば、機体固定座標とは、原点が機体の重心に一致し、機体に固定され、機体と共に運動する動座標系であるとしている。
なお、動座標系ってのは非慣性座標系の別名。
次に、この本では慣性座標系上で定義した量を機体固定座標系上で(機体に埋め込まれた基底ベクトルを使って)書き直す。

{ \displaystyle
{\bf{V_c}} = U{\bf{i}} + V{\bf{j}} + W{\bf{k}}
}

この本が始まってまだ3本目の数式だが、ここに誤りがある(いきなりだけど)。機体固定座標系から機体の重心速度を計測した場合、明らかに\bf{V_c}=\bf{0}である。
しかしこの本では、機体固定座標系から見て機体の重心速度が存在すると言っている。この本はこの先、ずっと成分U、V、Wの時間発展を論じることになるのだから。
一体何がおかしいのであろう?その答えは、この座標系上で記述される並進運動方程式が物語っている。

{ \displaystyle
m (\frac{d*\bf{V_c}}{dt}+ \bf{\omega} \times \bf{V_c}) = \bf{F}
}

この右辺のFは、機体固定座標系上で観測される機体外力である。本当に機体固定座標系が埋め込み座標系であったなら、次のように書かれるはずである。

{ \displaystyle
m (\frac{d*\bf{V_c}}{dt}+ \bf{\omega} \times \bf{V_c}) = \bf{F} + \bf{F_{iner}} = \bf{0}
}

{ \displaystyle
\bf{F_{iner}} = -\bf{F} 
}
明らかに機体重心には力が作用しているのに、機体固定座標系から見ると機体重心は全く運動しない。つまり\bf{V_c}=\frac{d\bf{V_c}}{dt}=\bf{0}
故に、作用している力と反対のベクトルを持つ見かけ上の力が存在していると考える。
いわゆる慣性力というものだ。この考え方を数式で書いたものが上の式だ。

この本では、機体固定座標系からは慣性力が消えている。つまり、ここで機体固定座標系と呼ばれているものは、慣性座標系っぽいなのである。
しかし角速度\bf{\omega} の項がある。回転しているということは、やはり非慣性座標系なのか?うーん、パラドキシカル・・・。

機体固定座標系は機体に固定されているか

すべての矛盾を解決する答えは以下である。
ここで機体固定座標系と呼ばれているものは、いかなる時刻においても機体姿勢角と同じ角度になっているデカルト座標系でかつ、基準となる慣性座標系に対して相対速度ゼロであるが、同時に基準となる慣性座標系に対して角速度ωを持っている非慣性座標系である。この座標系は”機体に固定されていない”。

ご理解いただけただろうか。
このように定義された座標系上で観測される機体重心速度\bf{V_c}だからこそ、基準慣性座標系上に座標変換で移してから時間積分することで、地上から空を見上げる人間から見た飛行機のTrajectoryが描けるのである。
まぁ自分でシミュレーションを作った経験がある人なら必ず気づくポイントではあるので、この手の誤解が原因で飛行機やロケットが堕ちることは無いと信じている。

*1:なお、飛行機程度であれば、地面上に固定した一点を慣性座標系原点にとって問題ない。 地球の自転角速度は十分無視できるほど小さいし、地球公転の影響は言うまでもない。